Tiro parabólico y movimiento circular uniforme

 
Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Movimiento bajo la 
aceleración constante
de la gravedad
Composición de
movimientos
Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil
marca.gif (847 bytes)Tiro parabólico y
 movimiento circular
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión

Tiros a canasta
Prescindiendo del tablero
Efecto del tablero.
Descripción

Alcance máximo

Altura máxima

Ecuación de la envolvente

Actividades

Referencias

Descripción

Supongamos que una rueda de radio R está mojada y que gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω, en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde el borde de la rueda con la misma velocidad v0= ωR pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la figura.

La gota de agua situada en la posición

x0=R·cosθ
y0=R
·senθ

se desprende del borde de la rueda con una velocidad inicial v0= ωR formando un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.

La posición de la gota de agua en función del tiempo es:

x= x0+v0 ·cosα·t
y
= y0+ v0 ·senα·t-gt2/2

o bien

x= R·cosθ-v0 ·senθ·t
y
= R·senθ+v0·cosθ·t-gt2/2

 

Alcance máximo

Si el suelo está a una distancia h por debajo el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.

x= R·cosθ-v0 ·sen(θt
-h
= R·senθ+v0·cos(θt-gt2/2

Dado el ángulo θ, calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.

Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición inicial, o el ángulo θm, de la gota o gotas que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para los cuales el alcance es máximo e igual a xm.

El alcance x es una función del tiempo de vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación, y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ, en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla, expresar x en función del ángulo θ, y despejar θ en la ecuación que nos da la condición de extremo dx/dθ=0, . Realizaremos el cálculo de los ángulos θm siguiendo el procedimiento descrito en el artículo citado en las referencias.

Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en forma vectorial

r(t)=r0+v0·t+gt2/2

donde

r=xi+yj,
r
0=Rcosθ·i+ Rsenθ·j
v
0= -v0senθ·i+v0cosθ·j
g
=-g·j

Dibujamos los tres vectores r0,v0·t, gt2/2, y el vector suma r, tal como se muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha, observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa OB común, se cumplirá que

De este modo podemos expresar x solamente en función del tiempo t.

El extremo (máximo) de x se calcula derivando x con respecto a t.

El alcance xm para el instante tm es

Calculamos el ángulo θm de la gota cuya punto de impacto es (-xm, h). Como vemos en la parte derecha de la figura θm=π-α-β.

Calculamos el ángulo θm de la gota cuya punto de impacto es (xm, h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θm=2π--β)=2π-α+β.

 

Altura máxima

La gota que se lanza en la posición θ=0, se mueve verticalmente hacia arriba,

vy=v0-gt
y=v0·t-gt2/2

alcanzando una altura máxima y cuando vy=0, cuyo valor es

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θm que vamos a calcular

La componente vertical de la velocidad de la gota que sale de la posición angular θ

vy= v0·cos(θ) -gt
y
= R·senθ+v0·cos(θ)t-gt2/2

La máxima altura se alcanza cuando vy=0, y su valor es

El ángulo θ, para el cual y es un extremo se obtiene dy/dθ=0

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2, que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada es

La altura máxima que alcanza la gota que parte de esta posición es

y su abscisa es xm=0, tal como vemos en la figura, más abajo

 

Ecuación de la envolvente.

Como vemos en la figura, la envolvente (en color azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación es y=ax2+b. Calculamos a y b sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, ym), y pasa por el punto (xm, -h). Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

La ecuación de la envolvente, para el caso , es la parábola

 

Actividades

Se introduce

  • La velocidad angular de rotación ω, en rad/s, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento titulada Velocidad angular.

  • El radio de la rueda se ha fijado en el programa interactivo en el valor R=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se observa el movimiento de las gotas situadas en el borde de la rueda en las posiciones: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270, 300º, y 330º.

Conocida la altura h del eje de la rueda sobre el suelo, el lector puede calcular los alcances y el tiempo de vuelo de las gotas situadas en algunas de estas posiciones y en especial la situadas en θ=90º y θ=270º.

Ejemplo:

  • Sea ω=9.04 rad/s, y por tanto, v0=9.04 m/s

  • Consideremos la gota situada en la posición θ=60º

  • Medimos la altura del eje de la rueda sobre el suelo, por ejemplo h=8 m

La posición de la gota en función del tiempo será

x=1.0·cos60º-9.04·sen60º·t
y
=1.0·sen60º+ 9.04·cos60º·t-9.8·t2/2

Llega al suelo y=-8 m, en el instante t=1.88 s, y su distancia al origen será de x=-14.2 m.

Calculamos el alcance máximo

El tiempo que tarda en alcanzar las posiciones de máximo alcance  es

Las dos gotas parten de las posiciones angulares para los cuales el alcance es máximo son

La gota que parte de la posición angular θm  alcanza la altura máxima

La máxima altura  ym es

Para comparar los cálculos realizados con los proporcionados por el programa interactivo se hace uso de los botones Pausa/Continua y Paso, para parar la partícula en el momento en el que llega al suelo.

 

CinemaApplet5 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Martínez D. Queiro S. An elementary solution for a difficult motion problem. The Physics Teacher 41, December 2003, pp. 518-520