Descripción
Supongamos que una rueda de radio R está mojada
y que gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω,
en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde el borde
de la rueda con la misma velocidad v0= ωR
pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una
dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la
figura.
 |
La gota de agua situada en la
posición
x0=R·cosθ
y0=R·senθ
se desprende del borde de la rueda con una
velocidad
inicial v0= ωR formando
un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.
|
La posición
de la gota de agua en función del tiempo es:
x= x0+v0 ·cosα·t
y= y0+ v0 ·senα·t-gt2/2
o bien
x= R·cosθ-v0 ·senθ·t
y= R·senθ+v0·cosθ·t-gt2/2
Si el suelo está a una distancia h por debajo
el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ
se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.
x=
R·cosθ-v0 ·sen(θ)·t
-h= R·senθ+v0·cos(θ)·t-gt2/2
Dado el ángulo θ,
calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y
lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.
Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición
inicial, o el ángulo θm, de la gota o gotas
que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para
los cuales el alcance es máximo e igual a xm.

El alcance x es una función del tiempo de
vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación,
y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ,
en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla,
expresar x en función del ángulo θ, y despejar
θ en la ecuación que nos da la condición de extremo
dx/dθ=0, . Realizaremos el cálculo de los ángulos
θm siguiendo el procedimiento descrito en el
artículo citado en las referencias.
Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en
forma vectorial
r(t)=r0+v0·t+gt2/2
donde
r=xi+yj,
r0=Rcosθ·i+ Rsenθ·j,
v0= -v0senθ·i+v0cosθ·j
g=-g·j

Dibujamos los tres vectores r0,v0·t,
gt2/2, y el vector suma r, tal como se
muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha,
observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa
OB común, se cumplirá que

De este modo podemos expresar x solamente
en función del tiempo t.

El extremo (máximo) de x se calcula derivando
x con respecto a t.

El alcance xm para el instante
tm es

Calculamos el ángulo θm de
la gota cuya punto de impacto es (-xm, h). Como
vemos en la parte derecha de la figura θm=π-α-β.

Calculamos el ángulo θm de
la gota cuya punto de impacto es (xm, h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θm=2π-(α-β)=2π-α+β.

La gota que se lanza en la posición θ=0,
se mueve verticalmente hacia arriba,
vy=v0-gt
y=v0·t-gt2/2
alcanzando una altura máxima y cuando vy=0,
cuyo valor es

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la
que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θm
que vamos a calcular
La componente vertical de la velocidad de la gota
que sale de la posición angular θ
vy= v0·cos(θ)
-gt
y= R·senθ+v0·cos(θ)t-gt2/2
La máxima altura se alcanza cuando vy=0,
y su valor es

El ángulo θ, para el cual y es
un extremo se obtiene dy/dθ=0

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2,
que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada
es

La altura máxima que alcanza la gota que parte de
esta posición es

y su abscisa es xm=0, tal como
vemos en la figura, más abajo

Como vemos en la figura, la envolvente (en color
azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación
es y=ax2+b. Calculamos a y b sabiendo
que la parábola pasa por el punto (0, ym),
y pasa por el punto (xm, -h). Tenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

La ecuación de la envolvente, para el caso ,
es la parábola

Se introduce
-
La velocidad angular de rotación ω,
en rad/s, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento titulada
Velocidad angular.
-
El radio de la rueda se ha fijado en el programa
interactivo en el valor R=1 m
Se pulsa el botón titulado Empieza.
Se observa el movimiento de las gotas situadas en
el borde de la rueda en las posiciones: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º,
150º, 180º, 210º, 240º, 270, 300º, y 330º.
Conocida la altura h del eje de la rueda sobre
el suelo, el lector puede calcular los alcances y el tiempo de vuelo
de las gotas situadas en algunas de estas posiciones y en especial
la situadas en θ=90º y θ=270º.
Ejemplo:
-
Sea ω=9.04 rad/s, y por tanto, v0=9.04
m/s
-
Consideremos la gota situada en la posición θ=60º
-
Medimos la altura del eje de la rueda sobre el
suelo, por ejemplo h=8 m
La posición de la gota en función del tiempo será
x=1.0·cos60º-9.04·sen60º·t
y=1.0·sen60º+ 9.04·cos60º·t-9.8·t2/2
Llega al suelo y=-8 m, en el instante t=1.88
s, y su distancia al origen será de x=-14.2 m.
Calculamos el alcance máximo

El tiempo que tarda en alcanzar las posiciones de
máximo alcance es

Las dos gotas parten de las posiciones angulares
para los cuales el alcance es máximo son

La gota que parte de la posición angular θm
alcanza la altura máxima

La máxima altura ym es

Para comparar los cálculos realizados con los proporcionados
por el programa interactivo se hace uso de los botones Pausa/Continua
y Paso, para parar la partícula en el momento en el que llega
al suelo.
|