Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

 

 
Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Movimiento bajo la 
aceleración constante
de la gravedad
Composición de
movimiento
marca.gif (847 bytes)Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil
Tiro parabólico y
movimiento circular
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión

Tiros a canasta
Prescindiendo del tablero
Efecto del tablero.

Descripción

Ángulos de disparo

Actividades 

Referencias

En esta página, se describe un problema de artillería que no tiene una solución sencilla.

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón en el momento del disparo se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.

 

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos

  • Uniforme a lo largo del eje horizontal X

ax=0
vx=v·cos
θ
x= v·cos
θ·t

  • Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

ay=0
vy=v·sen
θ-g·t
y= v·sen
θ·t-gt2/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g

En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

  1. Conocida la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

  1. Conocida la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

  1. El caso más interesante, es aquél en el que conocida la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

 

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente

v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0

Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)

z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura. 

El máximo de la función z se produce

para un ángulo θm independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ1 y θ2 están en los intervalos (0, θm) y (θm, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente

Existe una distancia dm para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θm. El máximo de la función f(θm) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que dm, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

 

Actividades

  • La velocidad v de disparo del proyectil se ha fijado en 100 m/s.
  • La distancia horizontal d entre el cañón y el carrao de combate en el momento del disparo se ha fijado en 1000 m.
  • El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0 y 50 que representa la velocidad u del carro de combate. cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo
  • Se establece el ángulo de disparo, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento, o introduciendo un ángulo en grados en el control de edición titulado Angulo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del carro de combate desde la posición inicial x=1000 m, hacia el origen donde se encuentra el cañón.

  • Se cambia el ángulo de tiro y se pulsa el botón titulado Empieza
  • Se ensaya con varios ángulos de disparo hasta dar en el blanco.

Se dibuja en un papel la función

z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

  • la velocidad de disparo es v=100 m/s
  • la velocidad del carro de combate u es el valor suministrado por el programa, (en la parte derecha del applet)
  • la distancia inicial entre el cañón y el carro de combate es  d=1000 m,
  • g=9.8 m/s2.

Se comprueba que las raíces de la ecuación trascendente son aproximadamente iguales a los ángulos de disparo obtenidos por el procedimiento de ensayo.

Ejemplo:

Para una velocidad del carro de combate u=20.0 m/s, el máximo de la función f(θ) se produce para

Los ángulos de disparo que producen impacto en el carro de combate son θ1=26.6º y θ2=71.5º, tal como puede verse en la primera representación gráfica

En el siguiente cuadro, se proporciona el código de la clase Disparo que utiliza el procedimiento del punto medio para calcular los dos ángulos de tiro. Se pueden cambiar los datos de la velocidad u del carro de combate para examinar otras situaciones.

public class Disparo{
     	static final double CERO=1e-10;
	static final double ERROR=0.001;
	static final int MAXITER=200;
//datos del problema
	static double u=20.0;
	static double d=1000;
	static final double v=100;

public static void main(String[] args) {
 	double angMax=Math.acos((-u+Math.sqrt(u*u+8*v*v))/(4*v));
	double ang1=puntoMedio(0.0, angMax)*180/Math.PI;
	double ang2=puntoMedio(angMax, Math.PI/2)*180/Math.PI;
	System.out.println(ang1+" "+ang2);
}
static public double puntoMedio(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}

static double f(double x){
	double y=10000*Math.sin(2*x)+2*u*100*Math.sin(x)-d*9.8;
	return y;
}

 

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Montalvo D. Solving an "unsolvable" projectile-motion problem. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 226-227